| Forside |  |
Indholdsfortegnelse |
Fra 60 til 10-talssystem og symbol for 0
Jeg er ganske enig i forskernes vurdering af at titals positionssystemet er udviklet i Nordindien, men jeg mener også at dette kan have fundet sted tidligere før udvandringen over Hindu Kush ned til det nordlige Indien af Sacae/Sakya-folket (goterne). Vi har ganske gode beviser for at 60 tals positionssystemet stadig var i brug i 400 tallet e.Kr. i Indien og vi ser det brugt i følgende sætning: Shastabdhanam shastardha vyatitastrashyam yugapadha Kilde: Som jeg oversætter fra engelsk til: ”Da 60 x 60 år og ¾ yuga (af den nuværende yuga) var gået, 23 år var gået siden min fødsel.” 1 1 Yuga = Kaliyuga = 3102 f.Kr. Plinius den Ældre og Arrian skriver begge at den tidligste indiske kalender, Saptarsi-kalenderen, havde år nul som omregnet til år 6676 f.Kr. Denne bruges stadig i dele af Indien og i dag regnes år nul som værende omregnet til år 3076 f.Kr. I 500 tallet beregnes så Kaliyuga til år 3102 f.Kr. For at finde fødselsåret laves følgende beregning: 3600 (60 x 60) – 3102 = 498/499 – 23 = år 476 e.Kr. er fødselsåret. I ”Bilag Z: Det oprindelige år nul og betydning” viser jeg hvorledes vi oprindeligt opfattede år nul og dets betydning, samt betydningen af Saptarsi-kalenderen. Det er bl.a. denne matematikers arbejde araberen Al-Biruni ca. år 1020 e.Kr. rejser til Indien for at forstå. G. Ifrah skriver i ”A Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer” (1998) at ”det er højst sandsynligt at Aryabhata kendte til tegnet for 0 og positionssystemet. Denne antagelse er baseret på to faktorer: For det første, opfindelsen af hans alfabetiske optællingssystem ville ikke være mulig uden 0 eller positionssystemet; for det andet, foretager han kvadratrods- og kubikrods- beregninger der er umulige hvis ikke numrene er skrevet i et positionssystem og med 0”. Med andre ord, såvel forståelsen af 0 som positionssystemet er kendt i det nordlige Indien senest år 499 e.Kr. Der er ikke enighed om dateringen af Bakshali skriftet med vurderinger fra år 200-700 e.Kr. Et af hovedproblemerne med en tidlig datering af skriftet er at det vil tvinge forskerne til en fuldstændig omvurdering af den eksisterende viden om evolutionen af 0 og positionssystemet. I Historieforskning er der normalt omvendt bevisbyrde, dvs. nye forslag til hvordan historien faktisk var, underkendes som udgangspunkt indtil det modsatte er bevist. Jeg er ganske sikker på at brugen af en cirkel som symbol for nul bliver udviklet enten i det nordlige Indien eller tidligere på stepperne i Kasakhstan (se senere om runen *ingwaR fra Ældre Futhark ). Der er tegn på at man i det nordlige Indien markederede nul dels som et mellemrum, lig assyrerne, men også ved brugen af en •. Vi har mange runeindskrifter vi stadig ikke kan fortolke, eller fortolke korrekt. Der er forbavsende få runeindskrifter hvori indgår tal skrevet med ord. En af hemmelighederne kan muligvis være at runer blev ristet som en talværdi, og det kan inkludere nul markeret som mellemrum eller med en •.
Hauksbók – (gen)introduktion af indiske talVærket blev skrevet ca. år 1310 e.Kr. af Haukr Erlendsson (d. år 1334 e.Kr.) og er det tidligste værk i Norden, der kan betegnes som en regnebog med indiske tal. Vi ved at Haukr Erlendsson var lagmann på Island i år 1294 e.Kr., at han var i Norge år 1301 e.Kr. og at han kaldes Gulatings lagmann og ridder i år 1311 e.Kr. Den matematiske del af Hauksbók kaldes ”Algorismus” og udgør 6-7 sider. Ordet ”Algorismus” bruges af Haukr Erlendsson efter en latinisering af Muhammed Al-Khwarizmi, den største matematiker i Baghdad i 800 tallet e.Kr. der udgav værket ”Aljabr w'al muqabalah" der blev til ”algebra”. Italieneren Alexander de Villa Dei skrev "Carmen de Algorismo" på et tidspunkt i 1200 tallet e.Kr. , i en eller anden afskrift fra Al-Khwarizmi og det er denne oversættelse Haukr Erlendsson benytter til Hauksbók. Bogen begynder således: ”Hér byrjar algorismum. List þessi heitir algorismus. Som jeg oversætter til: ”Her begynder algorismum. Denne list/kunst hedder algorismus. Bogen nævner 7 regnearter: Vidrlagning = tillægning = addition
Om 0 står der: ”Cifra betegner ingenting i sig selv, men det markerer plads og giver de andre cifre værdi”. Lad os forstørre tallene 0-9 op som de er vist i Hauksbók:
Ovennævnte ser ikke specielt oplysende ud og vi er da nødt til at vide at der i Hauksbók står at man skal begynde fra højre og skrive mod venstre, og at der på enerplads står tallet for 1.....lige til det sidste, som hedder cifra (0).
Det ældste kendte eksempel på tallene skrevet i Europa stammer fra Codex Vigilanus (Codex Conciliorum Albeldensis seu Vigilanus) fra år 976 e.Kr. (K. Vogel’s ”Muhammed Ibn Musa Alchwarizmi’s Algorismus,” s. 51) og her er tallene 1-9 gengivet:
Bemærk at tallet 0 (nul) mangler! Som i Hauksbók læser vi fra højre mod venstre.
Mange læsere vil være enig med mig i, at tallene som skrevet i Hauksbók ikke er en lineær evolution fra samme tal som de er kendt i det sydlige Europa. Der er klart en helt anden evolution bag tallene 2, 4, 5 og 7 i Hauksbók. Af uforklarlige årsager kalder engelske forskere disse tal for "Gothic numerals", selvom om samme forskere ikke mener at tallene henviser til visigoterne, men til et vagt afklaret tidsrum. Vi har ingen vidnesbyrd om at visigoterne i Spanien kendte til disse tal. Vi vil nedenfor se at tallene i Hauksbók genfindes i runekalendere. Forfatteren har derfor ikke haft krampe i hånden. Mit gæt er at denne evolution er sket via Ældre og Yngre Futhark.
Årstallet "1488" malet i kalk i Gudme kirke, Odense stift. Det er en Enhjørning vi ser ovenfor. Tallet "4" er skrevet som i Hauksbók og som vi ser nedenfor i runekalenderne. Jeg mener ikke der kan være tvivl om at vi her ser runen "*oþila, Otael" fra Ældre Futhark benyttet som talværdi "4". Billedkilde: www.kalkmalerier.dk
En “astrolabe quadrant” fundet i Canterbury, Kent i 2005. Købt til British Museum i 2008. Dette astronomiske værktøj i messing er dateret til år 1388 e.Kr. og er et af kun 8 kendte. Ovennævnte er det eneste kendte værktøj gjort til brug i England. De senere kendte ”astrolabe quadrant” fra Middelalderen er uden tvivl under indflydelse af arabiske matematikere, der genopdager græsk viden. Ovennævnte ”quadrant” eller ”kvart ring” er bærbar og har en radius på 3 inches (77 milimeter). Den blev benyttet til at beregne solens højde, fra hvilken kunne beregnes tid og dag. Andre typer af dette værktøj måler stjernerne. Netop dette værktøj er dog helt anderledes end de andre kendte. Bemærk dels af vi her muligvis ser en videreførsel af solpejlskiven (”solskuggefjøl” eller et ”solskyggebræt”). Samtidig kan vi se at de benyttede tal er identiske til som de er vist i Hauksbók. Er fuglen den urnordiske ravn som stifinder af solen, eller den germanerkatolske ørn? Er udformningen af solpejlskiven en videreførsel af vore Gyldne Vejrfaner? Dr. Andrew Burnett, Deputy Director & Silke Ackermann, Curator, begge British Museum, London har juli og august 2008 henvist mig til Elly Dekker: "With his sharp lok perseth the sonne": A new quadrant from Canterbury' (Annals of Science 65, 2008, 201-220), hvori det argumenteres at der må være tale om en ørn. Plinius Den Ældre nævner år 77 e.Kr. i Naturalis Historiae (Bog X:3-6) at en af ørnearterne tvinger sine unger til at stirre ind i solens stråler, og Geoffrey Chaucer (1343-1400) skriver i "Here Begynyth the Parlement of Foulys" (sætning 330-331) says: "...myghte men the royal egle fynde, That with his sharpe lok perseth the sonne,...". Derfor er det klart, at den germanerkatolske ørn, og forbindelsen til solen, er kendt i samtidens England. Problemstillingen er dog at ørnen for os, herunder i Anglernes landskaber i England (dvs. England bortset fra de saksiske landskaber) er den absolutte dødsfjende af vor store beskytter dragen (se afsnittet ” Dragen – oprindelsen”). Jeg mener aldrig vi ville tillade ørnen at være vor stifinder, og det er den opgave ørnen på dette værktøj gives. Se også Hávamál (verse 62, Ældre Edda) og Grímnismál (verse 32, Ældre Edda). Engelsk forskning vil, af religiøse og politiske årsager, helst ikke hente oprindelig tanke fra Skandinavien, fordi man så skal til at forklare ”The Dark Ages” om folkevandringerne herfra. Værktøjet, der blev benyttet på land, er efter min mening ikke godt nok undersøgt, og her ligger et glimrende emne til en hovedopgave for en ung historiestuderende. Fordi den nuværende forskning vil knytte værktøjet til det sydlige Europa, og derfor til Codex Vigilanus (Codex Conciliorum Albeldensis seu Vigilanus) fra år 976 e.Kr., hvad helt åbenlyst ikke kan være sandt når vi efterser tallenes udformning, fanger forskningen ikke at tallet for 4 er helt identisk til hvorledes vi skriver det i Skandinavien.
Runekalendere
Ole Worm’s værk ”Fasti Danici” fra 1626, om den gamle nordiske tidsberegning, beror bl.a. på en runekalender fra Gotland fra år 1328 e.Kr. samt en norsk runekalender ristet på et ben. Den norske runekalender er, så vidt jeg kan se, ikke blevet dateret. Neden for vises hvorledes indiske tal blev skrevet:
Indiske tal, der blev placeret i yderkanten på runekalendere. Disse kaldtes Gyldental og fortæller hvilket nummer året har i den 19-årige månecyklus. Tallene blev placeret ved de data som nymånen vil falde på i hvert år. Disse tal blev på de tidlige kalendere skrevet med romertallene I-XIX men ved slutningen af Middelalderen erstattet med indiske tal. Kilde: www.arild-hauge.com Der er nogle gennemgående hovedtræk ved Gotlandskalenderen, Ole Worms norske kalender og f.eks. runekaldenderen fra Gudbrandsdalen. Man inddelte ugen i 7 dage og hver dag skulle specificeres. Det gjorde man ved at skrive en rune for hver dag i ugen og så gentage denne proces 26 gange. Runerne er fra Yngre Futhark og ser således ud:
Kilde: Ole Worm, ”Fasti Danici.” Til venstre Gotlandskalenderen fra 1328, januar måned.
Vi kan se at Gotlandskalenderen indeholder Fe (F), Ur (U), Þurs (TH), As (A), Reid (R) og Kaun (K) der naturligvis er FUTHARK eller hvorledes Yngre (og Ældre) Futhark var opbygget (med 16- og 24- runer), og hvorfor vi bruger dette ord som betegnelse for runer. Den efterfølgende rune er netop runen Hagal (H) og Gotlandskalenderen er derfor helt konsekvent i brugen af Yngre Futhark . Dette er imidlertid ikke tilfældet for de norske kalendere der, uanset hvordan man vender og drejer det, ikke følger sekvensen i 16-Futhark . Dette kan skyldes geografiske forskelle men formentlig også tidsforskel, da Gotlandskalenderen må være væsentligt ældre end de to norske kalendere. I de norske kalendere har den gentagne sekvens måske alene været vigtig, uanset om den fulgte opbygningen af Futhark . Det latinske alfabet er for længst indført i tidsrummet hvor de norske kalendere må være fremstillet. Helt identisk til talværdierne på runekalendere finder vi i runers brug blandt håndværkere. Vi kan se fra tagtømmeret i bl.a. Hyrup Kirke (Sydslesvig), Hviding Kirke og Brøns Kirke (Hviding Herred, syd for Ribe), Egvad Kirke og Ådum Kirke ved Tarm, Midtjylland, at alle steder er og har de oprindelige tagspær være nummereret med brug af Yngre Futhark, følgende Futhark-formlen i Gotlandskalenderen. Nummereringen ser ud til at ske både for at fastsætte rækkefølgen, men også for at erindre de rette tømmersamlinger, dvs. at ”Þ” på den tværgående bjælke skal passe med ”Þ” på den skrå bjælke (som f.eks. i Hviding Kirke). Tidsmæssig er tagtømmer-nummereringen fastsat til ca. år 1200-1250 e.Kr., hvorfor runekalenderne er en videreførsel af en langt ældre brug af runer som tal 1. 1 Se også Per Kristian Madsen: Tagets og kirkens alder, Skalk (2010:3, s.18-27)
De græske talsystemer
Fordi der er sikre beviser for indflydelse af det græske alfabet i flere af de talsystemer vi om et øjeblik vil behandle er vi nødt til kort at vise hvorledes det græske alfabet brugtes som talværdi. Kilderne til det der følger om dette emne er: H.R. Smyth’s ”Greek Grammar”, 1980 (s. 103-104) Grækerne benyttede f.Kr. to former for talsystemer: ”Acrophonic” hvilket er et fint ord for at tallet kommer fra det første bogstav i tallets navn, dvs. symbolet for f.eks. 5 blev således fordi det skrevne og udtalte navn var fem. ”f” bliver derfor til ”5.” Dette talsystem blev benyttet til beskrivelse af kardinale tal, en værdi, vægt og mål.
Græske tal for 1-10, 100, 1000, 10000.
Vi ser naturligvis her det spirrende talsystem for romerske tal og additionssystemet.
Græske tal for 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 50000
Det andet talsystem var det alfabetiske system, der også kaldes ”Milesian” tal. Dette system blev benyttet til tidspunkter (dagen og måneden, længde af tid), for penge, for afstande og som talværdier i tillægsform, dvs. 1ste , 2den etc.
Kilde: Ancient Greek Number Codes. www.fargonasphere.com/piso/numcode.html Da nul ikke var forstået som en markering af plads med værdien ”ingenting” skulle der bruges 9 bogstaver for de første 9 tal, 9 for hver gruppe af ti og 9 for hver gruppe af hundreder. Det græske alfabet havde kun 24 bogstaver og man genindførte derfor i det alfabetiske talsystem 3 ekstra bogstaver, der ellers var gledet ud af det ordinære græske alfabet. Dette er symbolerne for 6, 90 og 900. Denne ændring af det græske alfabet med forståelsen som talværdier er faktisk ganske vigtig i forståelsen af hvad Wulfila gør i opbygningen af det gotiske talsystem. Vi kan se at grækerne har et titalssystem. F.eks. er tallet 10 sammensat af 10+1 men fordi nul ikke er forstået som markering af plads med værdien ”ingenting” gennemføres dette ikke med talværdierne. Tallene læses fra venstre mod højre med højeste værdi længst til venstre. Positionssystemet er ikke forstået. For værdier fra 10.000 og derover bruges acrophonic tal. Der er store skænderier om hvorvidt symbolet for 70, omikron, der fysisk er identisk med tallet nul, også var forstået som talværdien nul. Det er efter min mening useriøst at påstå at grækerne forstod tallet nul som enten som en værdi i sin egen ret eller som en markering af plads med værdien ”ingenting”. Grækernes alfabetiske talsystem, og alle de der kopierede dette (se senere), ville være fuldstændigt anderledes bygget op ifald dette var tilfældet.
Wulfila’s Bibel og den Gotiske kalender
Visigoten Wulfila (år 311-383 e.Kr.), kendes også som Ulfilas, oversatte i 300 tallet (mit gæt er efter opfindelsen af den ”moderne” Deos-Gud i år 325 e.Kr.) Bibelen fra græsk til Gotisk. Universitetsbiblioteket i Uppsala, Sverige har et eksemplar fra år 520 e.Kr., skrevet i Ravenna i det nordlige Italien, der indeholder en del af det Nye Testamente og en del af Nehimias Bog fra det Gamle Testamente.
Silverbibeln, Codex Argenteus, 187 sider, oprindeligt 336 sider.
Wulfila bruger mange låneord til oversættelsen hvor der ikke på gotisk eksisterede et passende ord. Gotisk, nu et uddødt sprog, er det tætteste vi kommer på urnordisk (oldnordisk og oldengelsk). Der foreligger iøvrigt ingen enighed omkring oprindelsen til Gotisk, skænderier der minder meget om oprindelsen til Ældre og Yngre Futhark . De fleste synes at mene at der er græsk indflydelse, latinsk indflydelse og indflydelse af Ældre Futhark . På Biblioteca Ambrosiana i Milano findes 102 sider af dels brudstykker af det Nye Testamente dels brudstykket af en gotisk kalender. (Codex Ambrosianus A). Henvisningen til den gotiske kalender er til denne kilde og måneden er november. Læseren skal for det første ligge mærke til at et gotisk bogstav, hvor det skal forståes med en talværdi, markeres på hver side med to prikker. Disse prikker skal formentlig markere at bogstavet omringet af de to prikker skal forstås som en talværdi og ikke en lydværdi. Hernæst skal vi have en tabel der kan vise det gotiske alfabet sammenholdt med Ældre Futhark :
*Flere skriver at de nævnte gotiske lydværdier skulle have de korresponderende talværdier. Dette har jeg ikke kunne efterse, hvilket naturligvis ikke ensbetydende med at det ikke er sandt.
Vi bemærker med det samme at opbygningen af talværdierne med bogstaver ikke følger sekvensen i Ældre Futhark , der må være en nogenlunde sammenlignelig størrelse til hvorledes sekvensen i det gotiske alfabet har været. Efter min mening er årsagen at Wulfila følger sekvensen i det græske alfabet.
Det klassiske græske alfabet. Kilde: www.omniglot.com/writing/greek.htm
Sekvensen i den gotiske opbygning af talværdierne med brug af bogstaver følger slavisk det græske alfabet bortset fra tallet ”6 og/eller 7” hvor bogstavet ”q” benyttes. Dette skubber sekvensen én gang. Årsagen til at Wulfila bruger ”q” er at grækerne gjorde præcis det samme ved tilpasningen af deres alfabet til forståelse som talværdi. Vi har ovenfor forklaret at grækerne indfører 3 ekstra uddøde bogstaver for værdierne 6, 90 og 900. Wulfila gør dette helt identisk og dette forklarer 3 ud af de 4 gotiske bogstaver vi ikke genfinder i Ældre Futhark . Mit gæt er at det gotiske alfabet, lig Ældre Futhark , havde 24 runer/bogstaver og da Wulfila bruger det gotiske bogtav med lydværdien ”x” som talværdien 900 mangler han derfor stadig et ekstra symbol for at få det totale antal af bogstaver op til de nødvendige 27. Derfor indfører han symbolet ”hv” for talværdien ”700”. Hvordan han fremkommer med netop dette symbol kan jeg ikke forklare. Wulfilas gotiske talsystem er derfor identisk i opbygningen med det tilpassede græske alfabettalsystem. Vi vil senere se at det Gamle Kirke-Slavoniske alfabet gør præcis det samme. Mit gæt er at Wulfila sidder med en græsk version af Bibelen , og det ved vi han gjorde, og derfor kopierer det i denne version af Bibelen brugte talsystem. Det er også mit gæt at mange forskere konkluderer at fordi goterne kopierer det græske alfabettalsystem kan man slutte at goterne ikke havde deres eget system i skrift. Det finder jeg ingenlunde er den rette slutning at drage. Alle der har gennemlæst Bibelen i en dansk, engelsk eller gotisk udgave vil se at der er en ekstrem disciplin i hvorledes Bibelen oversættes i alle henseender. Der er slet ingen tvivl om at Wulfila i oversættelsen af Bibelen fra græsk til gotisk, som en del af denne strenge disciplin, skal benytte det græske alfabettalsystem og tilpasse sit eget sprog til dette. Vi ser dette helt identisk, og af samme årsag, i det Gamle Kirke-Slavoniske alfabet. Bogstaver og tal har alle en etymologisk oprindelse og årsag til at de bliver udtalt og fysisk skrevet som de gør. Talværdierne i Wulfilas bibel har ingen forbindelse overhovedet til de gotiske bogstaver/runer der benyttes som symbol. Dette står frem som yderst akavet og direkte forkert. I ”Bilag X: Det gotiske alfabet som talværdi i Wulfilas bibel” gennemgår jeg det gotiske alfabet som talværdi. I forståelsen af hvad vi er vidne til i Wulfilas Bibel måtte jeg kaste håndklædet i ringen og bede om hjælp fra Professor Vang Lundsgaard Hansen og lektor Poul G. Hjorth, Ph.D begge fra Institut for Matematik, Danmarks Tekniske Universitet. Lad os overveje f.eks. tallet 2067 hvis gotiske talværdi var ”·b· þusundjos ·j· ·q·”. Det første vi kan se er at der faktisk står (2 x tusinde) + 60 + 7. Det højeste tal står til venstre, tallet der skal forstås som tusinde står til venstre for tusinde, og begge skyldes at vi læser fra venstre mod højre. Derfor er der en underforstået parantes omkring ”2 x tusinde”. Resultatet er at det samlede tal kan læses fra venstre mod højre og fra højre mod venstre. Dette betyder igen at positionssystemet ikke var forstået. Det næste vi kan se er at tallet nul som markering af plads med værdien ”ingenting” ej heller var forstået. Wulfila er løbet ud af bogstaver fra det gotiske alfabet, men da han (og romerne og grækerne) ikke har forståelse for tallet nul som markering af plads med værdien ”ingenting” skal han bruge et symbol for 1000. Grækerne løste dette problem i deres alfabettalsystem ved at tage symbolet for ”a” der havde talværdien 1 og sætte en streg til venstre for at indikere 1000. Vi vil se at i det Gamle Kirke-Slavoniske talsystem kopieres denne metode ved brugen af et korssymbol på skrå til venstre for tallet der skal forståes i tusinder. Wulfilas løsning er ganske enkelt at skrive tallet i skrift, dvs. ”þusundjos” for det ved han at hans folk har fuld kendskab til. Vi kan se at goterne, og vi, havde et fuldt udviklet titalssystem i tale jvf. f.eks. tallet for 20 ”twaim tigum” eller ” 2 gruppe af ti”. Men fordi goterne, og dermed formentlig også os, ikke forstod tallet nul som en markering af plads med værdien ”ingenting” kan forståelsen for titalssystemet ikke gennemføres i talværdier. Jeg fandt det ganske vanskeligt at forstå at forståelsen af ”tusinde” ikke indikerer forståelsen af nul som en markering af plads med værdien ”ingenting.” Først da lektor Poul G. Hjorth foreslog at jeg skulle skrive 1000 prikker, dvs. bruge totalsystemet, kunne jeg se at selvom om tusinde var forstået har dette nok været som f.eks. 1000 streger eller prikker, men ikke nul. Vi kan også se at goterne kun synes at bruge et titalssystem, hvilket indikerer at tyvetalssystemet kan være yngre end titalssystemet, dog ikke senere end år 446 e.Kr. Det talsystem vi havde kunne derfor kaldes et ”Talt Titalssystem”. Det er formentligt også derfor at ordet for ”tal” og ordet for ”tale” er det samme ord på oldnordisk ”tal” og oldengelsk ”tale”. I Britannien udvikler ordet sig til at betyde ”fortælling” og ”tale” (i dag ”talk”) medens det hos Friserne gennem ”talken” kun betyder ”at tale”. Professor Vang Lundsgaard Hansen og lektor Poul G. Hjorth, Ph.D begge fra Institut for Matematik, Danmarks Tekniske Universitet har henvist mig til en artikel skrevet af J. J. O'Connor og E. F. Robertson fra School of Mathematical & Computational Sciences, University of St Andrews, Fife, Skotland. J. J. O'Connor og E. F. Robertson giver nogle interessante oplysninger omkring hvorfor de gamle grækere aldrig udviklede et positionssystem. Årsagen var at de matematiske fremskridt omhandlede geometri, bl.a. Euclid (325-265 f.Kr.) i ”Elements”, og da dette omhandlede længde af linier var der intet behov for at navngive numre. Behovet for numre eksisterede hos købmænd der skulle kunne huske og nedskrive hvad en vare var købt og solgt for, ikke hos matematikere. Undtagelsen var matematikere der var interesseret i astronomi. Her er navngivning - og nedskrivning af numre, lig hos købmænd, nødvendig. Vi ser bl.a. Ptolemy (år 85-148 e.Kr.) i ”Almagest” bruge 60 talssystemet og nul som markering af plads for ”ingenting”. Ptolemy forstod dog ikke nul som en værdi i sin egen ret, og hans brug af nul bliver ikke taget op af efterfølgende generationer i Romerriget, og forsvinder dermed ud af historien i det sydlige Europa ind til 1202 e.Kr.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Indholdsfortegnelse |
”.
”.
